CF917C Pollywog —— 状压DP + 矩乘优化

C. Pollywog

题目描述

  原题题目链接。题目大意为:有$x$只蝌蚪,在$n$个石头中的最左端的$x$个石头上,这$n$个石头是在同一直线上的。每一次只能最左边的一个蝌蚪进行跳跃,并且只能跳$1$至$k$步,跳$i$步要花费$c_i$的体力。在蝌蚪跳跃时,是不能跳到已有蝌蚪的石头上。在这$n$个石头里面有$q$个石头是特殊的石头,跳上这$q$个石头中的第$p$个要额外花费$w_p$的体力值。问当所有蝌蚪跳到最右边的$x$个石头时的最小体力值。

思路

  首先,根据题意我们能知道所有的蝌蚪都一定在连续的$k$块石头上。现在进行一个小小的证明:假设这些蝌蚪不在连续的$k$块石头上,则最左边的蝌蚪在跳跃时一定会跳在最右边的蝌蚪的左边,不会使最右端点向右移动,但是因为最左边的蝌蚪跳动了,所以最左端点会向右移动,这样的话,区间就会缩短。知道当最左边的蝌蚪和最右边的蝌蚪的距离小于$k$时,才能在向右跳跃时将最右端点向右移动,又因为开始的时候所有的蝌蚪都在最左边的$x$个石头上,所以不会使区间大于$k$。

  因此我们就可以处理出来长度为$k$的所有的情况之间的转移。我们定义一个单位元矩阵,$num[i][j]$表示状态为$i$的石头转移成为状态为$j$的石头的花费。什么是状态为$i$的石头呢???我们将$i$转成二进制,这样我们就得到了一个$01$串,在这个$01$串中,$0$表示这个石头上没有蝌蚪,反之$1$表示有蝌蚪。因为我们一共就只需要枚举$k$块石头,并且只有$x$只青蛙,且$k,x \le 8$,所以最多就只有$C_8^4$种情况,将二进制串离散一下就好了。这就是预处理。

  我们得到了一个转移的邻接矩阵,我们就可以用这个矩阵来进行矩乘,先不考虑特殊的石头,所以就计算这个矩阵的$n-x$次幂就可以,$n-x$次幂的意思是,每一次都将当前$k$块石头向右进行移动一块石头,这样移动$n-x$次就是答案,但是特殊的石头要更改答案,所以我们到达一块特殊的石头,就停下来暴力就可以了。我们知道一块特殊的石头只能对$k$个转移带来影响。所以我们暴力停下来转移是可以的,时间复杂的是$O(k^2 \times q \times C_k^x)$。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define inf 1e18
#define N 10
int x,k,n,q,cnt;long long num[N];int bel[1<<10];
struct Square
{
	long long num[71][71];
	Square()
	{for(int i=1;i<=70;i++) {for(int j=1;j<=70;j++) num[i][j]=inf;num[i][i]=0;}}
	Square operator * (const Square &a) const
	{
		Square tmp;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			tmp.num[i][i]=inf;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			for(int j=1;j<=cnt;j++)
				for(int k=1;k<=cnt;k++)
					tmp.num[i][j]=min(tmp.num[i][j],num[i][k]+a.num[k][j]);
		return tmp;
	}
	Square operator ^ (const int &x) 
	{
		if(!x) return Square();
		Square tmp,tmp1;int times=x;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			for(int j=1;j<=cnt;j++) tmp1.num[i][j]=num[i][j];
		while(times) {if(times&1) tmp=tmp*tmp1;times>>=1;tmp1=tmp1*tmp1;}
		return tmp;
	}
}one;
struct Stone
{int place;long long val;}stone[30];
bool calc(int tmp)
{
	int many=0;
	for(int i=1;i<=8;i++) if(tmp&(1<<(i-1))) many++;
	return many==x;
}
bool cmp(const Stone &a,const Stone &b)
{return a.place<b.place;}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&x,&k,&n,&q);
	for(int i=0;i<=(1<<k)-1;i++) if(calc(i)) bel[i]=++cnt;
	for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%lld",&num[i]);
	for(int i=1;i<=q;i++) scanf("%d%lld",&stone[i].place,&stone[i].val);
	sort(stone+1,stone+q+1,cmp);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) one.num[i][i]=inf;
	for(int i=1;i<=(1<<k)-1;i++)
	{
		if(!bel[i]) continue;
		if(i&1)
		{for(int j=1;j<=k;j++)
			{if(!((1<<j)&i)) one.num[bel[i]][bel[((1<<j)|i)>>1]]=num[j];}}
		else one.num[bel[i]][bel[i>>1]]=0;
	}
	int now=1;long long sum=0;Square ans;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		if(stone[i].place>n-x) {sum+=stone[i].val;continue;}
		ans=ans*(one^(stone[i].place-now)),now=stone[i].place;
		for(int j=1;j<=(1<<k)-1;j+=2)
			if(bel[j])
				for(int k=1;k<=cnt;k++)
					ans.num[k][bel[j]]+=stone[i].val;
	}
	ans=ans*(one^(n-x+1-now));
	printf("%lld",ans.num[1][1]+sum);
}