动态规划——线性DP.1

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

那它和贪心有区别吗?

当然有。不然叫动态规划干啥?

幼儿园英语老师:DP是啥?

小盆友:Dog&Peppa pig

英语老斯:恩恩!真聪明!

然而,你是小盆友吗?

如果是

 

如果不是,

 

DP是D****** P*******的缩写。

意思是动态规划。

聪明的bolt告诉你:是Dynamic Programming的缩写!!!

 

动态规划注重     表示状态,转移状态

 so

讲一个栗子:

LIS:

最长上升子序列

 

这是线性动态规划中最经典的栗子之一。

最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence,LIS),指一个序列中最长的单调递增的子序列。

注意不是子串,所以可以不相邻。

比如说:

序列:3   2   1   4   6   8   7   9

它的LIS是5

3   4   6   8   9

或3   4   6   7   9

或2   4   6   8   9

······

还有很多种情况。

于是我们珂以得出:

动态规划的最优解,有不同的组合情况,但答案只有一个。

所以,如果NOIP出了动态规划的题目时,一般会叫你求值,而不是求情况。

 

这是好处!

BUT,有的老师不会好心,会给更多限制条件,使Ans只有一种情况,那就更有难度了。

 

LIS问题要用动态规划做。

方法一:

这是一个好理解的方法。

但是更好使耗时

 

 

不难看出,dp [ i ]就是第 i 个数的LIS

那代码怎么实现的呢?

先别急,我们在举个生活中的栗子。

 

老师要你算1+2+3+4+5+6+7+8+9=?时,你会算得45,

老师再问你1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=?时,你是会用1+···+10,还是用之前算的45+10?

聪明人会用后面一种。

 

所以,我们根据这个方便的原理,发现我每次计算dp [ i ] 时,如果用到了前面的 dp 值,则会减少一定的计算量。

 

在我们每次枚举一个数的dp值时,只要扫描在它前面比它小的数,那些比他小的数的dp值的最大值+1就是所求数的dp值

因为比所求数小的数的dp值表示它的LIS,再来一个比它大的数,大树数的LIS就等于小数的LIS+1.

但由于小数的LIS有大有小,我们又要求最长子序列,我们就要取最大值。

 

一番思考后,我们找到了状态转移方程,也就是动态规划中最重要的东西:

对于每一个 i ,我们枚举它前面的数 j,if (i > 它前面的数 j )   dp [ i ] = max ( dp [ i ] , dp [ j ] + 1 ) ;

 

这个算法的时间复杂度是O(n^2)的,慎用。

 

code:

 1 int n,a[1001]/*用来存序列*/,dp[1001]/*dp值*/;//数组大小根据题目而定。
 2 cin>>n;
 3 dp[1]=1;                                   //1的dp值为1
 4 for(int i=1;i<=n;i++)
 5     cin>>a[i];
 6 for(int i=1;i<=n;i++)
 7 {
 8     for(int j=1;j<i;j++)
 9     {
10         if(a[i]>a[j])
11         {
12             dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);      //状态转移
13         }
14     }
15 }
16 cout<<dp[n]<<endl;

 注意要初始化dp [ 1 ] = 1.剩下的为 0.

还有另一种时间复杂度为 n log n 的LIS算法

 

看,栗子!

2   1   5   3   6   4   6   3 

在 dp 值相同的情况下,保留较小的数显然更好。因为后面的数若能跟较大的数构成上升子序列,也一定能能较小的数构成上升子序列,反之则不一定。例如 a_3=5 与 a_4=3 的 dp 均为 2,但 a_6=4 不能与 a_3=5 构成上升子序列,而可以和 a_4=3 构成上升子序列。 因此,不同的 dp 值只需要存一个对应的最小值,将这个最小值顺序排列,他们一定是升序(严格来说是不下降)的。 于是,借助二分查找的方式,就可以很快查到更新的值,整体时间复杂度 O(nlogn)。

这个就是上面的一个优化,也没有太多可讲的,自己打一遍代码也就熟了。

code:

 1 const int maxn=1e5+5;
 2 int a[maxn];
 3 int n;
 4 int dp[maxn];
 5 int ans=1;
 6 int find(int x){
 7     int l=1,r=ans,m;
 8     while(l<r){
 9         m=l+(r-l)/2;
10         if(dp[m]>=a[x]){
11             r=m;
12         } 
13         else{
14             l=m+1;
15         }
16     }
17     return l;
18 }//二分查找 
19 int main(){
20     scanf("%d",&n);
21     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
22     dp[1]=a[1];
23     for(int i=2;i<=n;i++){
24         if(a[i]>dp[ans]){
25             dp[++ans]=a[i];
26         }
27         else{
28             int pos=find(i);
29             dp[pos]=a[i];
30         }
31     }
32     printf("%d",ans);
33     return 0;
34 }

这就是LIS问题,希望大家好好理解这个问题,因为他真的狠重要!

 

今天的分享就到这里,我们下次见。