深入理解L1、L2正则化原理与作用

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过节福利,我们来深入理解下L1与L2正则化。

1 正则化的概念

  • 正则化(Regularization) 是机器学习中对原始损失函数引入额外信息,以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称。也就是目标函数变成了原始损失函数+额外项,常用的额外项一般有两种,英文称作\(ℓ1-norm\)\(ℓ2-norm\),中文称作L1正则化L2正则化,或者L1范数和L2范数(实际是L2范数的平方)。
  • L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓惩罚是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型,使用L1正则化的模型叫做Lasso回归,使用L2正则化的模型叫做Ridge回归(岭回归)

  • 线性回归L1正则化损失函数:
    \[\min_w [\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i – y_i)^2 + \lambda \|w\|_1 ]……..(1)\]

  • 线性回归L2正则化损失函数:
    \[\min_w[\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i – y_i)^2 + \lambda\|w\|_2^2] ……..(2)\]

  • 公式(1)(2)中\(w\)表示特征的系数(\(x\)的参数),可以看到正则化项是对系数做了限制。L1正则化和L2正则化的说明如下:
    • L1正则化是指权值向量\(w\)中各个元素的绝对值之和,通常表示为\(\|w\|_1\)
    • L2正则化是指权值向量\(w\)中各个元素的平方和然后再求平方根(可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号),通常表示为\(\|w\|_2^2\)
    • 一般都会在正则化项之前添加一个系数\(\lambda\)。Python中用\(\alpha\)表示,这个系数需要用户指定(也就是我们要调的超参)。

2 正则化的作用

  • L1正则化可以使得参数稀疏化,即得到的参数是一个稀疏矩阵,可以用于特征选择。
    • 稀疏性,说白了就是模型的很多参数是0。通常机器学习中特征数量很多,例如文本处理时,如果将一个词组(term)作为一个特征,那么特征数量会达到上万个(bigram)。在预测或分类时,那么多特征显然难以选择,但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型,很多参数是0,表示只有少数特征对这个模型有贡献,绝大部分特征是没有贡献的,即使去掉对模型也没有什么影响,此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这相当于对模型进行了一次特征选择,只留下一些比较重要的特征,提高模型的泛化能力,降低过拟合的可能。
  • L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting);一定程度上,L1也可以防止过拟合。

3 L1正则化与稀疏性

  • 事实上,”带正则项”和“带约束条件”是等价的
  • 为了约束w的可能取值空间从而防止过拟合,我们为该最优化问题加上一个约束,就是w的L1范数不能大于m:
    \[ \begin{cases} \min \sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i – y_i)^2 \\ s.t. \|w\|_1 \leqslant m. \end{cases}……..(3) \]

  • 问题转化成了带约束条件的凸优化问题,写出拉格朗日函数:
    \[ \sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i – y_i)^2 + \lambda (\|w\|_1-m)……..(4)\]
  • \(W_*\)\(\lambda_*\)是原问题的最优解,则根据\(KKT\)条件得:
    \[ \begin{cases} 0 = \nabla_w[\sum_{i=1}^{N}(W_*^Tx_i – y_i)^2 + \lambda_* (\|w\|_1-m)] \\ 0 \leqslant \lambda_*. \end{cases}……..(5) \]

  • 仔细看上面第一个式子,与公式(1)其实是等价的,等价于(3)式
  • 设L1正则化损失函数:\(J = J_0 + \lambda \sum_{w} |w|\),其中\(J_0 = \sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i – y_i)^2\)原始损失函数,加号后面的一项是L1正则化项,\(\lambda\)正则化系数
  • 注意到L1正则化是权值的绝对值之和,\(J\)是带有绝对值符号的函数,因此\(J\)是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法(比如梯度下降)求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数\(J_0\)后添加L1正则化项时,相当于对\(J_0\)做了一个约束。令\(L=\lambda \sum_w|w|\),则\(J=J_0+L\),此时我们的任务变成在\(L\)约束下求出\(J_0\)取最小值的解。
  • 考虑二维的情况,即只有两个权值\(w_1\)\(w_2\),此时\(L=|w_1|+|w_2|\)对于梯度下降法,求解\(J_0\)的过程可以画出等值线,同时L1正则化的函数\(L\)也可以在\(w_1\)\(w_2\)的二维平面上画出来。如下图:
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  • 上图中等值线是\(J_0\)的等值线,黑色方形是\(L\)函数的图形。在图中,当\(J_0\)等值线与\(L\)图形首次相交的地方就是最优解。上图中\(J_0\)\(L\)\(L\)的一个顶点处相交,这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是\((w_1,w_2)=(0,w_2)\)。可以直观想象,因为\(L\)函数有很多突出的角(二维情况下四个,多维情况下更多),\(J_0\)与这些角接触的机率会远大于与\(L\)其它部位接触的机率,而在这些角上,会有很多权值等于\(0\),这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型,进而可以用于特征选择。
  • 而正则化前面的系数\(\lambda\),可以控制\(L\)图形的大小。\(\lambda\)越小,\(L\)的图形越大(上图中的黑色方框);\(\lambda\) 越大,\(L\)的图形就越小,可以小到黑色方框只超出原点范围一点点,这是最优点的值\((w_1,w_2)=(0,w_2)\)中的\(w_2\)可以取到很小的值。

  • 同理,又L2正则化损失函数:\(J = J_0 + \lambda \sum_w w^2\),同样可画出其在二维平面的图像,如下:
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  • 二维平面下L2正则化的函数图形是个圆,与方形相比,被磨去了棱角。因此\(J_0\)\(L\)相交时使得\(w_1\)\(w_2\)等于零的机率小了许多,这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

4 L2正则化为什么能防止过拟合

  • 拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小,最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单,能适应不同的数据集,也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程,若参数很大,那么只要数据偏移一点点,就会对结果造成很大的影响;但如果参数足够小,数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响,专业一点的说法是抗扰动能力强
  • 为什么L2正则化可以获得值很小的参数?
  • (1) 以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为\(\theta\)\(h \theta (x)\)是我们的假设函数,那么线性回归的代价函数如下:
    \[ J_{\theta} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) – y^{(i)})^2 ……..(6)\]
  • (2)在梯度下降中\(\theta\)的迭代公式为:
    \[\theta_j = \theta_j – \alpha \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) – y^{(i)}) x_j^{(i)}……..(7)\]
  • (3) 其中\(\alpha\)是learning rate。 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式,如果在原始代价函数之后添加L2正则化,则迭代公式为:
    \[\theta_j = \theta_j(1- \alpha \frac{\lambda}{n}) – \alpha \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) – y^{(i)}) x_j^{(i)} ……..(8)\]
  • 其中\(\lambda\)就是正则化参数。从上式可以看到,与未添加L2正则化的迭代公式相比,每一次迭代,\(\theta_j\)都要先乘以一个小于1的因子,从而使得\(\theta_j\)不断减小,因此总得来看,\(\theta\)是不断减小的。
    最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释,当L1的正则化系数很小时,得到的最优解会很小,可以达到和L2正则化类似的效果。

5 正则化项的参数选择

  • L1、L2的参数\(\lambda\)如何选择好?
  • 以L2正则化参数为例:从公式(8)可以看到,λ越大,\(\theta_j\)衰减得越快。另一个理解可以参考L2求解图, \(\lambda\)越大,L2圆的半径越小,最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小;当然也不是越大越好,太大容易引起欠拟合。
  • 经验
    从0开始,逐渐增大\(\lambda\)。在训练集上学习到参数,然后在测试集上验证误差。反复进行这个过程,直到测试集上的误差最小。一般的说,随着\(\lambda\)从0开始增大,测试集的误分类率应该是先减小后增大,交叉验证的目的,就是为了找到误分类率最小的那个位置。建议一开始将正则项系数λ设置为0,先确定一个比较好的learning rate。然后固定该learning rate,给\(\lambda\)一个值(比如1.0),然后根据validation accuracy,将λ增大或者减小10倍,增减10倍是粗调节,当你确定了\(\lambda\)的合适的数量级后,比如\(\lambda= 0.01\),再进一步地细调节,比如调节为0.02,0.03,0.009之类。

参考文献